第08講　計數(shù)問題第02講   加法原理與乘法原理

　　1、如果兩個四位數(shù)的差等于8921，那么就說這兩個四位數(shù)組成一個數(shù)對，問這樣的數(shù)對共有多少個？

　　分析：從兩個極端來考慮這個問題： 最大為9999-1078=8921，最小為9921-1000=8921， 所以共有9999-9921+1=79個，或1078-1000+1=79個

　　2、一本書從第1頁開始編排頁碼，共用數(shù)字2355個，那么這本書共有多少頁？

　　分析：按數(shù)位分類： 一位數(shù)：1～9共用數(shù)字1*9=9個； 二位數(shù)：10～99共用數(shù)字2*90=180個；
三位數(shù)：100～999共用數(shù)字3*900=2700個， 所以所求頁數(shù)不超過999頁， 三位數(shù)共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722個， 所以本書有722+99=821頁。

　　3、上、下兩冊書的頁碼共有687個數(shù)字，且上冊比下冊多5頁，問上冊有多少頁？

　　分析：一位數(shù)有9個數(shù)位，二位數(shù)有180個數(shù)位，所以上、下均過三位數(shù)， 利用和差問題解決：和為687，差為3*5=15，大數(shù)為：（687+15）÷2=351個 （351- 189）÷3=54，54+99=153頁。

　　4、從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這10個數(shù)中，任取5個數(shù)相加的和與其余5個數(shù)相加的和相乘，能得到多少個不同的乘積。

　　分析：從整體考慮分兩組和不變：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 從極端考慮分成最小和最大的兩組為（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的兩組為27+28 所以共有27-15+1=13個不同的積。
另從15到27的任意一數(shù)是可以組合的。

　　5、將所有自然數(shù)，自1開始依次寫下去得到：12345678910111213……，試確定第206788個位置上出現(xiàn)的數(shù)字。

　　分析：與前面的題目相似，同一個知識點： 一位數(shù)9個位置，二位數(shù)180個位置，三位數(shù)2700個位置，四位數(shù)36000個位置， 還剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4 所以答案為33579+100=33679的第4個數(shù)字7.

　　6、用1分、2分、5分的硬幣湊成1元，共有多少種不同的湊法？

　　分析：分類再相加：只有一種硬幣的組合有3種方法；1分和2分的組合：其中2分的從1枚到49枚均可，有49種方法；1分和5分的組合：其中5分的從1枚到19枚均可，有19種方法；2分和5分的組合：其中5分的有2、4、6、……、18共9種方法；1、2、5分的組合：因為5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461種方法，共有3+49+19+9+461=541種方法。

　　7、在圖中，從“華”字開始，每次向下移動到一個相鄰的字可以讀出“華羅庚學校”。那么共有多少種不同的讀法？

　　分析：按最短路線方法，給每個字標上數(shù)字即可，最后求和。 所以共有1+4+6+4+1=16種不同的讀法。 

 

  
　　8、在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)共有多少個？

　　分析：十位是9的有9個，十位是8的有8個，……十位是1的有1個，共有：
1+2+3+……+9=45個。 或是在給定的兩位數(shù)中，總是在9876543210中，所以有C(10、2)=45個。

　　9、按圖中箭頭所示的方向行走，從A點走到B點的不同路線共有多少條？

 
　　分析：同樣用上題的方法，標上數(shù)字，有55條。

　　10、用紅藍兩色來涂圖中的小圓圈，要求關(guān)于中間那條豎線對稱，問共有多少種不同的涂法？ 

 
　　分析：按題意可知，1、4對稱，2、3對稱，這樣1、2、A、B、C、D、E均有兩種選擇，
2×2×2×2×2×2×2=128種。 

　　11、如圖，把A、B、C、D、E這五個部分用4種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色，那么，這幅圖共有多少種不同的著色方法？

　　分析：　　C－A－B－D－E，根據(jù)乘法原理有： 4×3×2×2×2=96種。  

　　12、如圖是一個中國象棋盤，如果雙方準備各放一個棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置方法？ 

 
　　分析：根據(jù)乘法原理，第一個棋子有90種放法，第二個棋子有72種放法，共有： 90×72=6480種。
此主題相關(guān)圖片如下：

　　13、在圖中所示的階梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行每列都只有1枚棋子，那么這樣的放法有多少種？

　　分析：對于第1列必有1枚棋子，這有上下兩行選擇， 對于第2列必有1枚棋子，這有除第1枚外的兩行選擇， …… 對于第5枚棋子，只有唯一選擇， 所以共有2×2×2×2×1=16種。
此主題相關(guān)圖片如下：
 

　　14、有一種用六位數(shù)表示日期的方法是：從左到右的第一、第二位數(shù)表示年，第三、第四位數(shù)表示月，第五、第六位數(shù)表示日，例如890817表示1989年8月17日。如果用這種方法表示1991年的日期，那么全年中有6個數(shù)都不同的日期共有多少天？

　　分析：因為有91，所以1、9、10、11、12不能出現(xiàn)，實際上9102XX也是不行的， 在剩下的6個月中，每個月都有5天，共5*6=30天， 例如：三月份：910324，910325，910326，910327，910328。

　　15、如果一個四位數(shù)與三位數(shù)的和是1999，并且四位數(shù)和三位數(shù)是由7個不同數(shù)字組成的，那么這樣的四位數(shù)最多有多少個？

　　分析：按題意給出這樣一個算式： 由于1已定，相應的8也就不能用， 對于D來說，有2、3、4、5、6、7、9共7種選擇，每一種選擇都有相應的A, 對于E來說，在剩下的數(shù)中有6種選擇，每一種選擇都有相應的B,
對于F來說，在剩下的數(shù)中有4種選擇，每一種選擇都有相應的C, 根據(jù)乘法原理，共有7×6×4=168種。