第三講 數論的方法技巧之一

　　1．帶余除法：若a，b是兩個整數，b＞0，則存在兩個整數q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

　　且q，r是唯一的。

　　特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數，a是b的倍數。

　　2．若a|c，b|c，且a，b互質，則ab|c。

　　3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

　　其中p1＜p2＜…＜pk為質數，a1，a2，…，ak為自然數，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質因數分解或標準分解。

　　4．約數個數定理：設n的標準分解式為（1），則它的正約數個數為：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

　　5．整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。

　　1．十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

　　2．帶余形式：a=bq+r；

　　4．2的乘方與奇數之積式：n=2mt，其中t為奇數。

　　例1 紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構成1個四位數，并計算這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差。結果小明發現，無論白色卡片上是什么數字，計算結果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數字？

　　解：設紅、黃、白、藍色卡片上的數字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數可以寫成

　　1000a3+100a2+10a1+a0，

　　它的各位數字之和的10倍是

　　10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，

　　這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差是

　　990a3+90a2-9a0=1998，

　　110a3+10a2-a0=222。

　　a0=8，a2=1，a3=2。

　　所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。

　　a+b+c＞14，

　　例3 從自然數1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數使得所取出的數中任意三個數之和能被18整除？

　　解：設a，b，c，d是所取出的數中的任意4個數，則

　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，

　　其中m，n是自然數。于是

　　c-d=18（m-n）。

　　上式說明所取出的數中任意2個數之差是18的倍數，即所取出的每個數除以18所得的余數均相同。設這個余數為r，則

　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

　　其中a1，b1，c1是整數。于是

　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

　　因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數，它們中的任意3個數之和能被18整除。

　　例4 求自然數N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數。

　　解：把數N寫成質因數乘積的形式

　　由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數ak為自然數或零。依題意，有

　　（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

　　由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故

　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質因數5和7，因為a4+1≥3＞2，故由

　　（a3+1）（a4+1）=10

　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=5^2-1×7^5-1=5×7⁴=12005。

　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那么N等于多少個2與1個奇數的積？

　　解：因為2¹⁰=1024，2¹¹=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024=2¹⁰，所以，N等于10個2與某個奇數的積。

　　說明：上述5例都是根據題目的自身特點，從選擇恰當的整數表示形式入手，使問題迎刃而解。

　　例6 求這樣的三位數，它除以11所得的余數等于它的三個數字的平方和。

　　分析與解：三位數只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。

　　設這個三位數的百位、十位、個位的數字分別為x，y，z。由于任何數除以11所得余數都不大于10，所以

　　x2+y2+z2≤10，

　　從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數必在以下數中：

　　100，101，102，103，110，111，112，

　　120，121，122，130，200，201，202，

　　211，212，220，221，300，301，310。

　　不難驗證只有100，101兩個數符合要求。

　　例7 將自然數N接寫在任意一個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被N整除，那么N稱為魔術數。問：小于2000的自然數中有多少個魔術數？

　　對N為一位數、兩位數、三位數、四位數分別討論。

N|100，所以N=10，20，25，50；

N|1000，所以N=100，125，200，250，500；

　　（4）當N為四位數時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。

　　綜上所述，魔術數的個數為14個。

　　說明：（1）我們可以證明：k位魔術數一定是10k的約數，反之亦然。

　　 　　 （2）這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。

例8 有3張撲克牌，牌面數字都在10以內。把這3張牌洗好后，分別發給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數字記下后，再重新洗牌、發牌、記數，這樣反復幾次后，3人各自記錄的數字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數字分別是多少？

解：13+15+23=51，51=3×17。

　　因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數字之和是17，可能的情況有下面15種：

　　①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8

　　④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8

　　⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8

　　⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8

　　(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6

　　3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

　　這3張牌的數字分別是3，5和9。

例9 寫出12個都是合數的連續自然數。

　　分析一：在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續運用下去，把考查的范圍擴大一些就行了。

解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數：

　　114，115，116，117，118，119，120，

　　121，122，123，124，125，126。

　　分析二：如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數，第3個是4的倍數……第12個是13的倍數，那么這12個數就都是合數。

　　又m+2，m+3，…，m+13是12個連續整數，故只要m是2，3，…，13的公倍數，這12個連續整數就一定都是合數。

解法2：設m為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數，3的倍數，4的倍數……13的倍數，因此12個數都是合數。

　　說明:我們還可以寫出

　　13！+2，13！+3，…，13！+13

　　（其中n！=1×2×3×…×n）這12個連續合數來。

　　（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個連續的合數。

例10 將100以內的質數從小到大排成一個數字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：

　　（1）將左邊第一個數碼移到數字串的最右邊；

　　（2）從左到右兩位一節組成若干個兩位數；

　　（3）劃去這些兩位數中的合數；

　　（4）所剩的兩位質數中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去；

　　（5）所余的兩位質數保持數碼次序又組成一個新的數字串。

　　問：經過1999次操作，所得的數字串是什么？

解：第1次操作得數字串711131131737；

　　第2次操作得數字串11133173；

　　第3次操作得數字串111731；

　　第4次操作得數字串1173；

　　第5次操作得數字串1731；

　　第6次操作得數字串7311；

　　第7次操作得數字串3117；

　　第8次操作得數字串1173。

　　不難看出，后面以4次為周期循環，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數字串與第7次相同，是3117。

例11 有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？

　　設這一摞卡片的張數為N，觀察上表可知：

　　（1）當N=2^a（a=0，1，2，3，…）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2^a張；

　　（2）當N=2^a+m（m＜2^a）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。

　　取N=100，因為100=2⁶+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。

　　傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1，2，3，…然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？

　　例12 要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數克重量，至少要用多少個砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

　　（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。

　　（2）稱重2克，有3種方案：

　　①增加一個1克的砝碼；

　　②用一個2克的砝碼；

　　③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內，把3克的砝碼放在砝碼盤內。從數學角度看，就是利用3-1=2。

　　（3）稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

　　（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內的任意整數克重。

　　（5）接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用

　　9-（3+1）=5，

　　即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內的任意整數克重。

　　而要稱14克時，按上述規律增加一個砝碼，其重為

　　14+13=27（克），

　　可以稱到1+3+9+27=40（克）以內的任意整數克重。

　　總之，砝碼的重量為1，3，3²，3³克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

　　這個結論顯然可以推廣，當天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，